Размещено на сайте 17.09.2008.
Материал публикуется в рамках обсуждения на форуме Методолога темы о закономерном характере развития технических систем.
Обсуждение законов и трендов развития ТС
Размышления над S-кривой
А.Крамер
1.
S-кривая ничего не объясняет.
Она иллюстрирует. Делает очевидными (в прямом смысле) некие предшествующие ей доказательства и выводы. Цифры предшествуют.
Что видим? Буквально: взлет. Похоже на траекторию самолета после отрыва. Набрал высоту и занял эшелон. Причем очень круто набрал высоту — в случае ненулевого y соотношение между yx и y0 интуитивно рисуют не менее 1:7. В семь раз больше начального. Впечатляет, в любом случае: семикратный рост в развитии. Метафора цепляет своей простотой, и в этом глубокий психологический смысл: это трудная простота пути к победе.
А попробуй наоборот, сначала покажи s-кривую, потом путайся в «физическом смысле» аргументов и коэффициентов[1]...
Есть разные S-кривые (Перла, Коши-Лоренца, Гомперца, логонормальная, Пуассона и др). И здесь оказывается еще одна важная вещь: пять как минимум сходных по форме кривых. Пять метафор с уважаемыми именами создателей. Не просто так. Очевидно, что такая форма кривой имеет смысл. Смысл вообще; простота метафоры заставляет искать в ней символический смысл, в общем отвлекаясь от того, ради чего, зачем была использована эта кривая каждым из исследователей. S-кривая становится симулякром. Разговоры о какой-либо осмысленности использования ее теряют всякую логику. Точнее, подчиняются совсем иной логике. S-кривая становится иррациональным аргументом рационально мыслящего человека. Ибо выведение S-кривой слишком сложно для того, кто не владеет математикой, и — природа кривой слишком вероятностна для того, кто этой математикой владеет.
2.
Собственно говоря, первым логистическую кривую[2] для описания популяционной динамики первым предложил Пьер Ферхюльст в середине 19-го века[3], введя в «уравнение Мальтуса» параметр (-mN2), где m - число встреч членов популяции, при котором они могут конкурировать за какой-либо ресурс, N — численность популяции.
О Мальтусе следует сказать особо. Так называемый «Закон Мальтуса», сформулированный им уже в начале первой главы «Опыта о народонаселении»[4], коротко можно сформулировать так: «На всех не хватит».
Этот девиз в принципе применим к любой «дарвинистской» модели развития и не выходит за рамки второго закона термодинамики.
Фокус в том, что Мальтус (а за ним и Ферхюльст) ввел в оборот представление об ограничивающем ресурсе (который, в свою очередь, не бесконечен, но и не зависит впрямую от развивающейся сущности), за который идет борьба. Именно так: жизненно важный ресурс становится фактором (или параметром), ограничивающем развитие. И кто-то это ресурс неизбежно захватит, отобрав его у конкурентов.
А это уже — политика. Недаром в третьей главе «Опыта» Мальтус ссылается на Кондорсе[5], имя которого прочно привязано к так называемому «парадоксу демократии Кондорсе-Эрроу»[6]. Фактически, S-кривая обретает политический смысл, демонстрируя бурный и впечатляющий рост достижений захватчика, и только (попробуйте найти на кривой точки, в которых слабые выбыли из борьбы).
Еще раз подчеркну: ордината y кривой — это объем вовлеченного в борьбу ресурса. Не ресурса в целом, а только какой-то его части. Причем, неструктурированно, а некоем «обобщенном виде». Это раз. Второе: когда победитель дойдет до верхнего предела, означает ли это, что ресурс в данной части исчерпан? Из кривой не видно, что происходит с ресурсом, вообще. Третье: Означает ли достижение победителем верхнего предела данного ресурса переход на новый ресурс? Если и так, то на графике точку перехода найти в принципе невозможно.
Имеем метафорическое обобщение, в котором S-кривая демонстрирует захват ресурса. При этом захват ресурса победителем, и в этом смысле S-кривая оказывается заведомо в положении post factum, играя роль очевидности ставшего. Но, известная вещь: описания сражения, данного победителем, недостаточно, чтобы составить какое-либо внятное представление о сражении. Нужны другие точки зрения, точки зрения побежденных (а такие описания — большая редкость). И лишь некая совокупность кривых победы и поражений может дать сколь-нибудь внятную картину, описывающую (пусть задним числом, пусть не механику) логику процесса.
В противном случае, о каком переносе знания «о данном и победоносном» на сходные ситуации может идти речь? Чего будет стоит такое знание?
3.
Взятие первой производной логистической функции даст нам хорошо знакомый график нормального распределения[7]. А это означает, что любая s-кривая по своей природе, во-первых, вероятностная, а во-вторых, статистическая (что прекрасно для знания post factum).
Статистические и вероятностные свойства S-кривых используются в демографии[8], в медицине[9], в биологии[10], на стыке техники и биологии[11]; в технике, разумеется[12]; а также в бизнес-теориях[13] и — что характерно — в социоисторических (и «психоисторических» исследованиях. В принципе, любая сфера жизни, в которой есть место ресурсу, которого «на всех не хватит», может быть статистически и вероятностно описана через логистические уравнения.
Тут надобно отдельно сказать о природе ресурса, за который идет война. Любой ресурс — внешний относительно конкурирующих сторон. Кроме того, этот ресурс критически (и с высокой степенью вероятности) ограничивает жизнедеятельность каждого конкурента. Жизнедеятельность следует понимать также и как работоспособность в техническом смысле, и как воспроизводимость в культурном.
Ресурс всегда имеет простой физический / биологический / культурный смысл.
В авиации такой ресурс, например - плотность воздуха (со всей ее высотной и метеорологической структурой)[14]. В оружейном деле (и, как ни странно, в строительстве) - предел прочности вещества. Однако, чем больше надсистем вовлечено в конкурентную борьбу, тем более сложной становится структура ресурса. В градостроительстве — двойственный ресурс (площадь территории и доступные энергоресурсы). В социальных структурах, в силу пересечения биологического, психологического и культурного, ресурс тройственный (идеи — ценности — силы)[15]. Чисто биологический ресурс — количество пропитания. В «деле заказчика» (бизнесе) ресурса два — количество людей, которые будут продуктом пользоваться и количество денег, которые люди заплатят за право пользования[16].
Суммируя, статистическая достоверность вероятности ограничения жизнедеятельности конкурента является определяющим фактором при выборе ресурса (ось ординат в S-кривой).
Далее. Статистика вероятности означает повторяемость. Из повторяемости же неявным образом следует цикличность — и некоторый прогностический потенциал. Простейший цикл — колебание, простая синусоида — восходящий и нисходящий отрезки. Любопытно, что угол (крутизна) подъема S-кривой ассоциативно соответствует частоте, а высота — амплитуде колебательного цикла. Складывается ощущение, что для многих, использующих S-кривую, эта самая S-кривая воспринимается на месте восходящей волны синусоиды. Именно этим, возможно, объясняется - в большинстве известных вариантов - гладкий «хвост» S-кривой[17]. Впрочем, о хвостах — ниже.
А сейчас — здесь надобно заметить, что S-кривая выступает своего рода иллюстрацией нелинейности в развитии той или иной системы. При этом выбор S-кривой в качестве метафоры хода развития оказался тесно увязанный с описаниями развития как циклических процессов[18] (причем цикличность со времен В.Джевонса рассматривается через призму статистики колебаний). Это один важный момент. Второй, не менее существенный: S-кривая может быть также рассмотрена как восходящая волна нормального (гауссова) распределения[19]. А также логонормального, распределения Коши-Лоренца и, особенно - распределения Пуассона. Это все - вероятностные распределения, играющие определяющую роль в разнообразных концепциях нелинейности (прежде всего - в физике)[20].
Нелинейность, строго говоря, начинается с простых квадратных уравнений. Заканчивается она (если заканчивается) в физике гравитационной сингулярности, теории катастроф, теории диссипативных структур, — и далее в том, что принято называть синэргетикой (Н.Забуски определял синэргетический подход как «совместное использование обычного анализа и численной машинной математики для получения решений разумно поставленных вопросов математического и физического содержания системы уравнений»[21]).
Последнее сказанное (о математическом и физическом содержании) имеет прямое отношение к S-кривым. Но общая подоплека выбора нелинейной S-кривой в качестве иллюстрации ли, метафоры ли, аргумента ли — содержит в себе одну немаловажную тонкость.
Любая система (то, что может рассматриваться как система) — создается или рассматривается человеком в свете сугубо человеческих целей. Управляют системами в конечном итоге — люди. А человек — существо нелинейное. Эмоциональное, верующее, чувствующее. Подсознательное и бессознательное к тому же. Разумно-иррациональное, в общем. И вот эту линейность рационального и нелинейность иррационального в принципе наиболее простым способом иллюстрирует все та же S-кривая.
4.
К вопросу о «хвосте» S-кривой — строго говоря, его нет.
S-кривая стремится к верхнему пределу, но никогда его не достигнет. Фактически, на каком-то этапе она превратится почти в прямую. Дальнейшее, если внимательно проследить - сложная кривая из нескольких функций.
И действительно. Конкуренты вытеснены. Ресурс освоен. S-кривая как метафора «трудной победы» плавно перетекает в некую сложную кривую — метафору «послевоенного мироустройства». По логике метафоры, вариантов дальнейшего не так уж много: или переход к освоению нового ресурса(новая S-кривая будет уже на другом графике, а в этой, «старой», использование ресурса поползет вниз); или качественное преобразование существующего ресурса и начало новой «победоносной».
Может случиться цикличность. Может не случиться. В любом случае тема эта крайне малоизученная.
5.
И, под занавес.
Первое. S-кривая не может быть инструментом прогноза без учета побежденных в борьбе за ресурс. Точного указания, в какой момент и по какой причине (внутренние ли факторы, внешние ли) тот или иной конкурент уйдут с поля боя (или вернутся на него).
Второе. S-кривая не может ничего сказать, пока точно не указана структура ресурса, за который идет война. Мало того, необходимо точно знать, что и по какой причине происходит с ресурсом в определенные моменты (внутренние или внешние переструктурирования, качественные сдвиги).
Третье. S-кривая не несет никакого смысла, если она не показывает вероятности (риски) проигрыша. В какие моменты и по каким причинам конкуренты могут взять верх. Я уже не говорю о построении S-кривой для антиресурса (это вообще должно делаться автоматически).
И только в этом случае S-кривая будет «говорящей» и методологически очевидной.
[1] Подробное математическое выведение 4-хпараметрической S-кривой см. в: А.Ф.Каменев. Технические системы: закономерности развития. Л.,1985 (глава 3, с.92-141).
[2] S-кривые в международной практике принято называть logistic curves.
[3] Verhulst, P.-F. «Recherches mathematiques sur la loi d'accroissement de la population». Nouv. mem. de l'Academie Royale des Sci. et Belles-Lettres de Bruxelles 18, 1-41, 1845; Verhulst, P.-F. «Deuxieme memoire sur la loi d'accroissement de la population». Mem. de l'Academie Royale des Sci., des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique 20, 1-32, 1847. См также: David M. Bradley. Verhulst's logistic curve // The College Mathematics Journal, Vol. 32, No. 2, March 2001, pp. 94—98 (http://arxiv.org/abs/0706.3163), http://mathworld.wolfram.com/LogisticEquation.html и http://mialo.narod.ru/ped/models/popul.htm
[4] «Закон этот состоит в проявляющемся во всех живых существах постоянном стремлении размножаться быстрее, чем это допускается находящимся в их распоряжении количеством пищи». - Т.Р.Мальтус. Опыт о законе народонаселения. Глава 1 (http://www.humanities.edu.ru/db/msg/6424).
[5] «Кондорсе в своем "Историческом очерке успехов человеческого разума" говорит, что сравнение количества населения просвещенных европейских стран с занимаемой ими площадью, а также условий их земледелия, промышленности и разделения труда с размером средств существования показывает, что современное положение может быть сохранено не иначе, как при существовании громадного числа людей, удовлетворяющих свои потребности путем усиленного труда». - Т.Р.Мальтус, op.cit., гл. 3 (http://www.humanities.edu.ru/db/msg/6426).
[6] См., например: Швери Р. Теория рационального выбора: исторический обзор // «Социологический журнал», №2-1995 (http://www.socjournal.ru/article/149); Бирюков Б.В., Бирюкова Л.Г. Философско-логические основания математики в культурологическом аспекте: исторические судьбы древних контроверз точного мышления // Вестник МГУ, сер.7, Философия. №5, 2001, с. 70-83 (http://www.philos.msu.ru/vestnik/philos/art/2001/biryuk_philos.htm); Морозова Е.Г. Политика в терминах рынка и маркетинга: теоретические аспекты. - в кн. Политический рынок и политический маркетинг: концепции, модели, технологии. – гл.1. М., 1999 (http://www.humanities.edu.ru/db/msg/62524).
[7] Весьма наглядно показано в: Сибиряков В.Г., Семенова Л.Н., Серединский А.В. S-кривая: инструмент менеджера // Доклад на научно-практической конференции «Творчество во имя достойной жизни»,Великий Новгород, 11-12 июля 2001 года (http://www.natm.ru/triz/articles/sibir/sibir06.htm).
[8] Например, Cesare Marchetti, Perrin S. Meyer, Jesse H.Ausubel. Human Population Dynamics Revisited with the Logistic Model: How Much Can Be Modeled and Predicted? // Technological Forecasting and Social Change 52, 1-30 (1996). (http://phe.rockefeller.edu/poppies/).
[9] Например, Daniel A. Griffith. Leaps and Creeps: Hierarchical Spatial Models - Motivation: spread of a disease through a population // Leaps and Creeps: Spatial diffusion of desease (http://www.nku.edu/~longa/modules/leaps/Leaps/leaps.html).
[10] Например, Г.Ю.Ризниченко. Популяционная динамика (http://www.library.biophys.msu.ru/MathMod/PD.HTML).
[11] Например, John M. Owens. AGE 2062: Biology for Engineers I (A course offered in the Agricultural and Biological Engineering Department at the University of Florida)- Lectures - Lecture 27. Populations and Communities (http://www.agen.ufl.edu/~chyn/age2062/lect/lect_27/lect_27.htm).
[12] Например, Дж.Мартино, «Технологическое прогнозирование» М., 1977; Горбачев В.Г. Масштаб технологии и пределы роста. Принцип переломных точек в эволюции систем (http://veinik.ru/science/fizmat/article/535.html); Тихонов А.О. Функциональные возможности современного сервопривода (http://www.controlengrussia.com/jun08-7.php4?art=1770) и др.
[13] Например, Scott M. Smith and William R. Swinyard. Introduction to marketing models - Chapter 4 - Modeling Marketing Phenomenon (http://marketing.byu.edu/htmlpages/courses/693r/modelsbook/chapter4.html).
[14] Например, одну из S-кривых развития авиации можно представить последовательностью качественных сдвигов: первая фаза — змеи, планеры, воздушные шары; далее качественный сдвиг, вторая фаза — самолеты; далее качественный сдвиг, третья фаза — ракеты.
[15] Мне уже доводилось писать на эту тему, см., например: А.Крамер. О системном подходе в социальном прогнозировании (http://alexkrm.narod.ru/papers/Article/soc_sys.htm) и А.Крамер, Л.Рудикова. Социальное моделирование в некоторых аспектах социальной культуры // Этносоциальные и конфессиональные процессы в современном обществе // Материалы IV междунар. науч. конференции. Гродно, 2003. - С. 359-365 (http://alexkrm.narod.ru/papers/Article/socm.htm).
[16] Это то, что интересует «заказчика», для которого физический (или любой другой) ресурс технической (биологической, социальной) системы должен обрести «потребительский смысл».
[17] См, например: Scott M. Smith and William R. Swinyard. Introduction to marketing models (op.cit); Альтшуллер Г.С. Линии жизни технических систем — в кн. Творчество как точная наука. М., 1979 (http://www.altshuller.ru/triz/zrts4.asp); Альтшуллер Г.С. О прогнозировании развития технических систем (http://www.altshuller.ru/triz/zrts3.asp) и др.
[18] Здесь особенно порезвились историки и экономисты, начиная от К.Маркса (1867) и К.Кларка (1887) и далее ван Гельдерен и де Вольф (1913), Н.Кондратьев (1925), П.Сорокин, далее везде.
[19] См: (http://www.statsoft.ru/home/portal/glossary/GlossaryTwo/N/NormalDistribution.htm).
[20] См.: Гершанский В.Ф. Нелинейность в теоретической физике. Философско-методологический анализ // «Логос» - Портфель (http://www.ruthenia.ru/logos/kofr/2001/2001_04.htm).
[21] Norman J.Zabusky. A synergetic approach to problems of nonlinear dispersive wave propagation and interaction - in «Proceedings of the Symposium Nonlinear Partial Differential Equations» — N.Y., 1967, c. 223.
В тексте сохранены авторская орфография и пунктуация.
|