Итак, как и в исходной задаче, есть банки с таблетками. В каждой банке либо только нормальные таблетки, либо только фальшивые. Точно известно, что фальшивая таблетка ровно на 1 миллиграмм (мг) тяжелее нормальной. Есть точные аптекарские весы с гирьками. В скольких банках содержатся нормальные таблетки, а в скольких – фальшивые, не известно. Но известно, что по крайней мере в одной банке таблетки фальшивые. Требуется, как и раньше, определить, в каких именно банках содержатся фальшивые таблетки. За одно взвешивание можно класть любые таблетки и любые гирьки на любые чашки весов.

В отличие от исходной задачи, банок не 10, а только 9. Но и гирек немного: их всего две – весом 1 и 2 мг соответственно. На решение задачи дается три взвешивания.

Подсказка: в этой задаче есть еще один ресурс (помимо второй чашки весов), который прежде был без надобности, а теперь будет вполне кстати. Что это за ресурс?

Чтобы легче было методы применять, даю «исходное» решение, которое надо улучшить: в четыре взвешивания.
I. Кладем слева 1 таблетку из банки 1 и 2 таблетки из банки 2, справа – 3 таблетки из банки 3. Если фальшивые таблетки только в банке 1 – левая чашка тяжелее на 1 мг, если только в банке 2 – левая тяжелее на 2 мг, если только в банке 3 – правая тяжелее на 3 мг, если в банках 1 и 2 – левая тяжелее на 3 мг, если в банках 1 и 3 – правая тяжелее на 2 мг, если в банках 2 и 3 – правая тяжелее на 1 мг. Если вес чашек одинаков – результат не определен: либо все таблетки нормальные, либо все фальшивые. В любом случае с помощью гирек 1 и 2 мг можно определить точную разницу в весе чашек. Таким образом, во всех случаях, кроме равенства весов, мы точно знаем, где нормальные таблетки, а где фальшивые. А в случае равенства – знаем, что все три банки одинаковые: либо все нормальные, либо все фальшивые.
II. Аналогично взвешиваем таблетки из банок 4, 5 и 6.
III. Аналогично взвешиваем таблетки из банок 7, 8 и 9.
Если ни в одном из взвешиваний не было зафиксировагно равенство весов чашек – значит, задача решена. Если в каких-то из взвешиваний было зафиксировано равенство весов на чашках, то делаем четвертое взвешивание:
IV a. Если равенство весов было зафиксировано только в одном звзешивании (допустим, I, т.е. банки 1=2=3 одинаковые, но не известно, какие именно), то кладем на левую чашку 1 таблетку из чашки 1, а на правую – 1 нормальную таблетку из любой чашки (мы уже знаем, где они). Если есть разница в весе – значит в банках 1-3 таблетки фальшивые, если нет – нормальные.
IV b. Если в двух взвешиваниях (допустим, I и II, т.е. 1=2=3 и 4=5=6) было зафиксировано равенство весов, то кладем на левую чашку 1 таблетку из чашки 1 и 2 таблетки из чашки 4, на правую – 3 нормальных таблетки из любой чашки (мы уже знаем, где они). Если вес чашек одинаков - значит, все таблетки в чашках 1-6 нормальные. Если левая чашка на 1 мг тяжелее – значит, в банках 1, 2 и 3 таблетки фальшивые, а в банках 4, 5 и 6 нормальные. Если левая чашка на 2 мг тяжелее – то наоборот. Если левая чашка на 3 мг тяжелее – значит, во всех банках 1-6 таблетки фальшивые. Правая чашка тяжелее быть не может, поскольку на ней лежат только нормальные (более легкие) таблетки.
IV c. В случае, если во всех предыдущих взвешиваниях вес чашек оказался одинаковым (т.е. 1=2=3, 4=5=6, 7=8=9), кладем на левую чашку 1 таблетку из банки 3 и 2 таблетки из банки 6, на правую – три таблетки из банки 9. Если вес чашек одинаков – значит, все таблетки фальшивые (в этом случае во всех девяти банках таблетки одинаковые и по условию задачи среди них есть фальшивые). Если левая чашка на 1 мг тяжелее – значит, в банках 1-3 таблетки фальшивые, а в банках 4-9 – нормальные. Если левая чашка на 2 мг тяжелее – значит, в банках 4-6 таблетки фальшивые, в остальных – нормальные. Если левая чашка на 3 мг тяжелее – значит, в банках 1-6 таблетки фальшивые, а в банках 7-9 – нормальные. Если правая чаша на 1 мг тяжелее – значит, в банках 1-3 таблетки нормальные, в 4-9 – фальшивые. Если правая чаша на 2 мг тяжелее – значит, в банках 4-6 таблетки нормальные, в остальных – фальшивые. Если правая чашка на 3 мг тяжелее – значит, в банках 7-9 таблетки фальшивые, в банках 1-6 – нормальные. Других вариантов в данной ситуации быть не может.
Таким образом, во всех случаях, если мы не полуучили результат за три взвешивания, мы гарантированно получаем его на четвертом.
Итак, какой же ресурс задачи НЕ БЫЛ использован в этом решении? И, быть может, кто-то догадается, как его можно использовать, чтобы сократить максимальное число взвешиваний до трех? Решение «по-шахматному» красивое – но не простое.