Место встречи изменить нельзя

Изображение пользователя Gregory Frenklach.

Эту задачу много лет назад (больше четверти века) мне дал А.Гин. Я сильно его "огорчил" не тем, что довольно быстро решил задачу, а тем, как решил - я воспользовался одним из сорока приёмов.
А теперь задача...
В вершинах равностороннего треугольника (1,2,3) со стороной "А" находятся три черепашки. Эти черепашки начинают одновременно и9и с одинаковой скоростью) ползти - первая ползёт ко второй, вторая - к третьей, третья - к первой. Поскольку черепашки всё время находятся в движении - чтобы ползти друг к другу они должны всё время менять направление. Таким образом каждая из них ползёт по кривой и в конце своего пути они встречаются в центре треугольника.
Какова величина пути (длина кривой, начинающейся в вершине треугольника и заканчивающейся в центре), пройденного  каждой черепашкой?
Успехов.

Форумы: 

Re: Место встречи изменить нельзя

Изображение пользователя Gregory Frenklach.

Я использовал другой принцип, но если Вам поможет этот - используйте его.

P.S. Совсем забыл дать ещё одну небольшую подсказку - сформулируйте сначала противоречие, которое и разрешается одним из приёмов, превращая эту задачу в простую. Для чего сформулировать противоречие говорить не буду...

Re: Место встречи изменить нельзя

Изображение пользователя AlexZ.

У меня получилась такая длина пути:  S = a /√3, или S = а * (√3)/3, если избавиться от иррациональности в знаменателе. а = длина стороны треугольника.

Спасибо,

AlexZ

Re: Место встречи изменить нельзя

Это комментарий к тому, что задачи иногда можно решать очень быстро, например, эта задача решилась буквально за минуту, но....

Помните, как у Яна Арлазорова:"Сосчитать могу быстро, но неточно..."

Рисунок от руки, сторона треугольника примерно 65 мм, точки образуют кривую, по которой двигаются черепахи, между точками около 5 мм, таких точек до встречи черепах около 9, итого получается пройденняй черепахой путь около 9×5=45 мм:

Затем переходим к общему. Отношение пути к стороне будет постоянно:45/65=0.69, тогда S=0.69×a, где а -длина стороны треугольника.

Думаю, что по расчет по формуле будет примерно такой же, но времени уйдет в 100 раз больше ;-)

Re: Место встречи изменить нельзя

Про противоречие.

Можно было бы начать так: путь черепахи рассчитывается просто, если он прямолинейный, но по факту он криволинейный.

Вот только дальше что....?

Re: Место встречи изменить нельзя

Изображение пользователя Gregory Frenklach.

Путь должен быть "прямолинейным" - чтобы его можно было легко рассчитать.
И "криволинейным" - чтобы (подскажу) все три черепахи могли встретиться в одной точке, пройдя равные пути, .
Думаю, что с приёмом всё уже ясно.
Дальше сами...

По поводу, что "быстрее" - может мне просто "повезло", но формулировка противоречия, использование приёма и расчёт заняли не больше пары минут. Но. как я уже сказал, это было больше четверти века назад. Возможно, сейчас бы я эту задачку так быстро не решил - если бы вообще решил.

P.S. Я бы ещё поигрался с квадратом, правильным шестиугольником и т.д.

Re: Место встречи изменить нельзя

Каждая черепаха должна в своём движении и двигаться прямо, и поворачивать.

Разлагаем движение на движение вдоль стороны треугольника и поворот этой стороны треугольника. При этом черепахи всё время будут находиться в вершинах постоянно уменьшающегося треугольника, образованного пересечением поворачивающихся сторон исходного треугольника.

Ответ: путь каждой черепахи равен длине стороны исходного треугольника.

 

Re: Место встречи изменить нельзя

Изображение пользователя AlexZ.

AlexZ wrote:

У меня получилась такая длина пути:  S = a /√3, или S = а * (√3)/3, если избавиться от иррациональности в знаменателе, где а = длина стороны треугольника.

Спасибо,

AlexZ

Хочу уточнить и дополнить ранее написанное... Я решил найти количественные рамки, в которые укладывается длина S искомого пути. Результат выше получен, если считать скорость черепах бесконечной. Хороший оксюморон получился... В этом случае все 3 черепахи мгновенно достигают точку встречи в центре треугольника, и это путь S кратчайший (2/3 длины медианы треугольника, а * (√3)/3 = a * 0.58. Поэтому я и написал с самого начала про прием "проскок".

Длина дуги S пути ограничена сверху суммой катетов треугольника, внутри которого и движется черепаха: длинный катет (S1 = a/2), короткий катет [S2 = a * (3 + √3)/6]. S1 + S2 = a * [1 + (√3)/6]. Т.е. длина дуги S пути находится в пределах: 1.29 * a > S > 0.58 * a.

Исходный треугольник - равносторонний, поэтому все 3 дуги S путей черепах симметричны относительно центра треугольника, а каждая дуга S ещё симметрична и относительно соответствующей медианы. Из этого следует, что длина дуги S пути равна 1/6 длины окружности, в которую вписан исходный равносторонний треугольник со строной а. 

Длина окружности, описанной вокруг исходного треугольника: L = π * D = 2π * R = 2π * а * (√3)/3, тогда длина дуги S пути = (2π * а * (√3)/3)/6 = a * (π * √3)/9. Если в виде числа, то S = a * 0.60. Видно, что в пределы полученное значение S попадает. Надеюсь, сейчас не ошибся... 

Дугу S можно спрямить, спроецировав её на прилежащую медиану. Видимо, этим Григорий и воспользовался. Это, если строго, сводится к понятию эвольвенты (развертки) окружности, а потом к расчету величины определенного интеграла от начальной до конечной точками участка эвольвенты. Для этого нужно составить уравнение окружности, описанной вокруг исходного треугольника, и найти координаты начальной и конечной точек участка эвольвенты - всё это находится по параметрам исходного треугольника.     

Спасибо,

AlexZ 

Re: Место встречи изменить нельзя

А мне кажется, что черепахи двигаются по дуге, которая не является частью описанной окружности, потому что радиус переменный. Это видно по рисунку. Проблема вся в том, что составлять уравнение траектории и искать интеграл в аналитической форме сложновато, но можно воспользоваться "ручным" построением траектории и вычислением интеграла, по чертежу. Мне кажется, что мое решение ближе к истине.

Re: Место встречи изменить нельзя

Изображение пользователя Gregory Frenklach.

AlexZ wrote:
Длина окружности, описанной вокруг исходного треугольника: L = π * D = 2π * R = 2π * а * (√3)/3, тогда длина дуги S пути = (2π * а * (√3)/3)/6 = a * (π * √3)/9. Если в виде числа, то S = a * 0.60. Видно, что в пределы полученное значение S попадает. Надеюсь, сейчас не ошибся... 

Ошиблись.

Re: Место встречи изменить нельзя

Изображение пользователя Gregory Frenklach.

Alex wrote:
А мне кажется, что черепахи двигаются по дуге, которая не является частью описанной окружности, потому что радиус переменный. Это видно по рисунку. Проблема вся в том, что составлять уравнение траектории и искать интеграл в аналитической форме сложновато, но можно воспользоваться "ручным" построением траектории и вычислением интеграла, по чертежу. Мне кажется, что мое решение ближе к истине.

Решение действительно ближе к истине, чем предыдущее, но оно графическое. Чем меньше отрезки, из которых состоит "загогулина" - тем точнее, но всё равно всегда есть погрешность.
Вторая подсказка:
Противоречие прямой<->кривой (легко рассчитать<->встретиться в одной точке) легко разрешается путём перехода в другое измерение.

Re: Место встречи изменить нельзя

Gregory Frenklach wrote:

Решение действительно ближе к истине, чем предыдущее, но оно графическое. Чем меньше отрезки, из которых состоит "загогулина" - тем точнее, но всё равно всегда есть погрешность.

Но, Вы же не указали, каким способом решать задачу и какая нужна погрешность! Вот я и решил тем способом, который приемлем для меня в данной ситуации.

О другом способе решения я вообще не стал заикаться - можно найти аналитическое решение этой задачи, вообще не решая, затраты времени так же 1 мин

Re: Место встречи изменить нельзя

Изображение пользователя Gregory Frenklach.

Alex wrote:

Но, Вы же не указали, каким способом решать задачу и какая нужна погрешность! Вот я и решил тем способом, который приемлем для меня в данной ситуации.

О другом способе решения я вообще не стал заикаться - можно найти аналитическое решение этой задачи, вообще не решая, затраты времени так же 1 мин

Я не против графического решения (даже за), но оно должно быть точным.
Кстати, в посте с графическим решением Вы написали, что времени на другое решение уйдёт в сто раз больше. Теперь согласились, что не уйдёт.:)

Продолжаю ждать решения. После двух подсказок осталось полтора -два шага.

Re: Место встречи изменить нельзя

Gregory Frenklach wrote:

Противоречие прямой<->кривой (легко рассчитать<->встретиться в одной точке) легко разрешается путём перехода в другое измерение.

Ох, по моему с другим измерением довольно запутанно выглядит. По сути здесь самая настоящая реализация одной из апорий Зенона, про ахилла и черепаху. Только вмето Ахилла здесь сторона треугольника. Если принять, что черепахи каждую секунду движутся по стороне треугольника, то окажется, что они действительно движутся по прямой (в своей системе отсчета, завязанной на тех черепах, к которым бредут), но по кривой в нашей системе отсчета. И тогда останется совсем немного до точного результата.

Эта задача чем-то напоминает задачу про собаку, которая выбежала со скоростью 20 км в час вместе с велосипедистом, который со коростью 10 км в час приналась догонять пешехода, час назад вышедшего из дома и уходящего от него со скоростью в 5 км в час. Собака догоняет пешехода и тут же бежит обратно, к велосипедисту, а вернувшись к нему, вновь убегает к пешеходу. Надо определить, сколько пробежит собака до момента, когда велосипедист догонит пешехода. Там тоже можно строить ряд и пытаться складывать его члены. А можно взглянуть по иному.

Re: Место встречи изменить нельзя

Изображение пользователя Gregory Frenklach.

Александр Кудрявцев wrote:

Ох, по моему с другим измерением довольно запутанно выглядит. По сути здесь самая настоящая реализация одной из апорий Зенона, про ахилла и черепаху. Только вмето Ахилла здесь сторона треугольника. Если принять, что черепахи каждую секунду движутся по стороне треугольника, то окажется, что они действительно движутся по прямой (в своей системе отсчета, завязанной на тех черепах, к которым бредут), но по кривой в нашей системе отсчета. И тогда останется совсем немного до точного результата.

Выглядит нормально.
Если представить, что черепаха движется всё время по стороне вращающегося и уменьшающегося треугольника (что так и есть ) - нужно определить (и обосновать) сколько (какую часть) она проползёт по неуменьшающейся стороне A.
Вот тут большинство (подавляющее) и "умирает".
Использовать принцип перехода в другое измерение удобнее.

P.S.1. Задача про собаку попроще будет - там дополнительное и независимое измерение (время) в задаче всё таки присутствует.

P.S.2. Я, кстати, путём перехода в другое измерение эту задачу и решил.

Re: Место встречи изменить нельзя

Черепаха, в конце-концов, переместилась из вершины треугольника в центр, перемещение равно S=a/2/cos(30). Но она шла не по прямой, а проделала путь по криволинейной траектории, длиной L. Время перемещения и время движения по траектории одно и то же,  t. Скорость V черепахи все время направлена по касательной к траектории, или вдоль стороны вращающегося и уменьшающегося треугольника.  Скорость перемещения Vп всегда направлена к центру, т.е. по медиане и связана с V соотношением Vп=V×cos(30). Теперь из соотношения t=S/Vп=L/V найдем длину траектории L.

В условии задачи заложен сильный заряд психологической инерции :-)

Re: Место встречи изменить нельзя

Изображение пользователя Gregory Frenklach.

Заставили пересчитывать:)
Вы решили задачу традиционным способом. Поскольку треугольник вращается - черепаха всегда перемещается под углом 30 град. к тоже вращающейся медиане пока треугольник не превратится в точку и она  не доползёт до центра, встретившись с двумя другими.
С введением времени Вы, по-моему немного перемудрили, но решение принято. Мои поздравления!

Я эту задачу решал по-другому.
1. Путь должен быть прямым, чтобы легко рассчитать и кривым, чтобы все три черепашки встретились;
2. Принцип перехода в другое измерение предлагает перейти от перемещения по плоскости к перемещению в объёме - т.е. получаем этакую пирамиду, длина ребра которой равна пути черепашки, но чтобы определить этот путь надо определиться с углом между медианой и ребром прирамиды;
3. Черепашка всегда ползёт под углом 30 град. к вращающейся медиане => можно рассчитать длину ребра, а значит и путь.

Но мне лень было считать и, поэтому:
4. Повернём ребро пирамиды вместе с высотой, падающей в центр треугольника вокруг медианы и как бы положим его на одну из сторон треугольника и тогда, поскольку центр треугольника делит медиану в сотношении 2/3 у 1/3 - повёрнутое ребро пирамиды (путь) тоже = 2/3 А. Это следует из подобия.

Всем спасибо!

Re: Место встречи изменить нельзя

Красиво получилось, особенно п.4, где не надо считать. Я и забыл такое правило, но зато табличные значения косинусов не позабуду никогда :-)

Спасибо.

Re: Место встречи изменить нельзя

Изображение пользователя Gregory Frenklach.

Ещё пару слов...
До того, что черепаха всегда движется по стороне треугольника, который вращается и уменьшается догадываются почти все.
То, что медиана вращается вместе с треугольником и, поэтому, в каждой конкретной точке угол между медианой и направлением движения черепахи равен 30 град догадываются немногие,
А вот правильно связать превращение уменьшающегося треугольника в точку в центре вращения с концом пути и поднять перпендикуляр из этой точки 2/3 - 1/3 до пересечения со стороной треугольника, чтобы определиться с величиной перемещения черепахи (если бы она ползла по прямой) могут единицы - там ведь она вроде ни с кем не встречается.
Действительно очень сильная психологическая инерция, связанная с противоречием.
Принцип перехода в другое измерение, предлагающий перейти от перемещения по плоскости к перемещению в объёме позволяет разрешить противоречие - движение черепахи перестаёт быть сложным, место встречи и углы представлены наглядно, что превращает задачу в относительно лёгкую.

Теперь об аналогии с апорией Зенона... По-моему в задаче про черепашек каждая из них и черепаха и Ахилес. Ахилес для той, по направлению к которой ползёт она сама и черепаха для той, которая ползёт к ней.

Re: Место встречи изменить нельзя

Gregory Frenklach wrote:

...
До того, что черепаха всегда движется по стороне треугольника, который вращается и уменьшается догадываются почти все.
...
Действительно очень сильная психологическая инерция, связанная с противоречием.
...

Инерция особенно сильна, когда знаешь классическое решение через время и косинус. Иногда от него удаётся отвлечся только ценой неправильного решения.

Теперь-то понятно, что из всего, что мы знаем о задаче, имеет значение только то, что каждая черепашка движется вдоль стороны треугольника до момента достижения центра симметрии треугольника.

Теперь остаётся только выбрать систему координат. Осью Х будет ось симметрии проходящая через выбранную черепашку, началом координат будет центр симметрии, ось У - очевидна. Получаем:

Два подобных треугольника, к которым вы пришли через переход в другое измерение и обратно.

Интересно, что решение AlexZ основано, в сущности, на том же факте: конец пути - это центр. Но ваше получается автоматически более общим - скорости не обязательно должны быть постоянны.

Subscribe to Comments for "Место встречи изменить нельзя"